算出地球半径?仅用一张照片和中学知识就行!
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根据一张湖上落日的照片,普林斯频大学范德北教授(Robert J. Vanderbei)证明了地球是圆的,并且给出了地球的半径。
知道某件东西可以做出来,就是最大的提示。只要知道某件东西可以做出来,即使不知道它到底是怎么做的,很多人就可以把它做出来。在科学发展的历史上,这样的事情屡见不鲜。
比如,伽利略发明望远镜。其实,伽利略并不是发明望远镜的第一人。1609年5月, 伽利略偶然听说,荷兰有人发明了一种“幻镜”,能够看到远处的风景。他没有参观或购买这种“幻镜”,而是自己动手,用了不到 3 个月的时间,仿造了两架仪器,并用它仰视星空。他观测到了月球的高地和环形山投下的阴影,发现了太阳黑子,还发现了木星的4个最大的卫星。借助于望远镜,伽利略还先后发现了土星光环、太阳的自转、金星和水星的盈亏现象、月球的周日和周月天平动,以及银河是由无数恒星组成,等等。
下面这个例子发生在现代。
2008年7月5日,在密执安湖湖边,普林斯顿大学的范德北教授(Robert J. Vanderbei)拍摄了一张夕阳照片,太阳即将落入地平线以下,在湖面上留下了倒影。范德北教授认识到,利用这张照片,再加上一些中学的物理和数学知识,就可以证明地球是圆的,还可以得到地球的半径。
01基本知识
这里需要的物理知识是:光沿直线传播;光被镜子反射的时候,入射角等于反射角。
这里需要的数学知识是:勾股定理,两个直角边的平方和等于斜边的平方;三角形的正弦定理,即三角形的边长与对角的正弦成正比。
要点在这里:水面就像镜子一样是平的,可以反射太阳光。但是,镜子或者水面的“平”是局部的平,而地球表面是弯曲的,你和我站在两个不同的地方,你的“平”在我这里就是“斜”了。对于平行入射的太阳光来说,不同地方的水面相对于太阳光的倾角是不同的。
这个分析很直接,但是有些繁琐。下面我们把分析过程详细地写出来,让《中学生数理化(初中版)》的读者也能懂。我们建议读者先试着自己推导,如果遇到困难,再回来看我们的解释。我们当初也是只知道结论,就自己推导出来了。这个问题的难度不在于推导,而在于认识到,这张图片包含了结论所需的全部信息。
02模型和推导
我们分析的示意图(图2)跟范德北教授的类似,只是为了详细说明,用一些新的符号做了标注,分析的过程也略有不同。具体说明如下:
对应于地球的球心,弧线对应于地球表面(假设是完美的球面),是地球的半径; 是照相机的位置,照相机相对于水面的高度,也就是的长度; 是照相机看到的地平线的位置;是和两个点相对于地球中心的张角; 是太阳的上沿在水面的倒影位置;是该处太阳光与水面的夹角; 是残阳相对于照相机的张角,也就是太阳最上沿和地平线相对于照相机的夹角; 是残阳在水面上的倒影相对于照相机的张角,太阳最上沿的水面倒影和地平线相对于照相机的夹角; 是Q和R两点相对于照相机的夹角。
03数据分析
04讨论
05打油诗一首
这回书,有分教:
利用几何知识,得到地球半径。
参考文献
本文受科普中国·星空计划项目扶持
出品:中国科协科普部
监制:中国科学技术出版社有限公司、北京中科星河文化传媒有限公司
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