飞机为何不沿直线飞行？难道2000年前《几何原本》的公设是错误的吗？

大家好，我是科学羊🐑，这里是数学篇第五季第08篇，今天我们聊一个关于生活中的视角问题。

如果你曾仔细观察过世界航空交通图，你会发现一个有趣的现象：几乎没有一架飞机是沿着直线飞行的。

而且，奇怪的是，多数航班都会沿着朝向地球两极方向曲线轨迹飞行。

比如，往返于北美和欧洲的长途航班通常会经过冰岛和格陵兰岛，有时甚至会进入北极圈。

即便出发地和目的地处于同一纬度，飞行路线也不会沿着平行线，而是先向北“爬升”，再向南“下降”。

那么，你知道为什么飞机不沿直线飞行吗？其实这是个数学问题，今天我们一起来解读下。

第一次看到这样的航线图时，我们可能都会感到疑惑，你说让我们引以为傲的中国高铁线路不是直线，那是因为陆地因居民障碍不好开挖，可是天空又没有障碍物，为什么不能直接走直线呢？

难道欧几里得平面几何的第一条公理（公设），“两点之间直线最短”，是错误的吗？

最初，我以为这可能是出于某种政策的考虑，比如国际空域协议、或遗留习惯等问题。

然而，当深入研究后才发现，原因比我想象的要简单得多。这其实是一种几何偏差，其实与我们所处的视角有关，甚至是又是一种世界观！

我们生活在陆地，而不是天上，不能以陆地的视角去思考天空的问题。

你看，在地图上，飞机的航线看起来是弯曲的，但实际上，它们沿着的是从出发地到目的地的最短路线。

这一切归因于地球的形状——地球是圆的，而地图是平的，所以必须扭曲现实才能将地球的表面绘制成地图。

相等的距离在地球仪上和在地图上可能会有所不同。

我们通常看到的航线图是用「墨卡托投影绘制」的。

墨卡托投影是一种等角投影

以墨卡托投影法呈现的世界地图。

在这种投影中，两极附近的区域被放大了，而赤道附近的区域则相对缩小。比如，格陵兰岛在地图上看起来比美国还大，但实际上它的面积只有美国的1/5。

这种变形导致了飞机飞行轨迹在地图上看起来是弯曲的。然而，如果在地球仪上查看这些飞行轨迹，就会发现这些航线其实是最短的路线。

当然，当我们花时间研究这种球面几何时，会发现许多令人困惑的现象。

比如，要抵达一个相对靠南的地方，通常需要先向北出发。这是因为在球体表面上，最短的路径往往是一条弧线，而不是直线。

举个例子，从加拿大的温哥华飞往埃及的亚历山大港，亚历山大港位于温哥华的南方，但最短的飞行路线是先向北飞，然后再向南。

这种现象在球面几何中尤为常见。如果飞行员告诉你，他要沿直线从温哥华飞往亚历山大港，那么他所说的“直线”其实是沿着地球表面的一条弧线。

这种几何的奇特性对欧几里得几何学提出了挑战。

欧几里得平面几何的五条公理（公设）是： 

1、从一点向另一点可以引一条直线；

2、任意线段能无限延伸成一条直线； 

3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆

4、所有直角都相等；

5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。

第五条公理称为平行公理（平行公设），可以导出下述命题：通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。

欧几里得几何的第一个公设是：从任意一点到另一点可引且只能引一条直线。

这对于飞行员来说是否成立呢？看似成立，因为任何飞机都可以通过一条唯一的最短路线从一个城市飞往另一个城市。

但如果两点是地球的对径点（如北极和南极），情况就不一样了。

从北极飞往南极，最短路线有很多条，所有的经线都可以是飞行路线，这就违背了第一个公设。

因此，在球面几何中，第一个公设不成立，而第二、第三、第四公设仍然成立，但第五公设则不成立。

有趣的是，地球表面不存在正方形。飞机无法沿着四条等边和四个直角的轨迹飞行。

如果一名飞行员起飞后，连续进行四次5000千米的直线飞行，每两次飞行之间转四分之一圈，那么他不会回到起点。

相反，如果他想回到起点，他的转弯角度必须比直角稍大一些。这表明，球面几何与欧几里得几何有着根本的不同，五个公设中只有三个能够成立。

为了更深入地理解几何学，我们可以设想一些与地球截然不同的形状。比如，绘制鸡蛋、花生或甜甜圈形状的地图。

在这些地图上，线条可以被称为直线，因为它们描绘的是在这些天体上的最短飞行路线。而根据这些形状描述的几何学中，欧几里得的公设同样无法完全成立。

意大利数学家欧金尼奥·贝尔特拉米在1868年发表了一篇关于常曲率空间的论文，详细讨论了关于变形地图的例子。

其中一个例子是一个受扭曲支配的圆盘，这个圆盘让接近其边缘的物体显得越来越小。

想象一下，圆盘上居住着一些扁平生物，它们在圆盘上自由移动。

对于这些生物来说，它们的大小并没有改变，但在我们看来，它们在边缘附近会变小。

这个圆盘后来被法国数学家亨利·庞加莱进一步研究和推广，因此被称为庞加莱圆盘。

在这个圆盘上，物体的大小随位置变化。圆盘上的生物生活在一个无限的世界中，尽管在我们看来，它们似乎被限制在一个圆形区域内。

这为我们提供了一种新的几何解释方法：通过研究这种独立存在的变形地图，我们可以重新审视欧几里得几何。

这种新几何的出现，让我们有机会重新定义几何学的基本概念。在庞加莱圆盘上，直线、圆和平行线的定义与我们在欧几里得几何中的理解完全不同。

我们可以通过这些新的几何概念，探讨《几何原本》中五个公设的适用性。

庞加莱圆盘模型的大斜方截 {3,7} 镶嵌。

例如，第一个公设在庞加莱圆盘上成立，通过两个点可以作一条且只能作一条直线。

但第五公设不成立，因为在庞加莱圆盘上，通过一个点可以作无数条与给定直线平行的直线。

通过这种方式，我们可以更好地理解几何学的本质。

无论是在航空航线的实际应用中，还是在抽象的几何理论中，几何学都展现出其无限的魅力和深远的影响。

未来，我们可以继续探索更多不同形状的几何，发现更多关于空间和距离的奇妙定律。

几何学不仅仅是一门数学学科，它还深刻影响着我们的日常生活。

在拓扑学中，一个杯子和一个面包圈（实心环面）是相同的，一头母牛和一个球面也是相同的。

从飞机的航线到地图的绘制，再到我们对空间的理解，几何学无处不在。通过不断探索和研究，我们将继续揭示几何学的奥秘，拓展我们对世界的认知。

总结起来，飞机不沿直线飞行的原因并非简单的务实考虑，而是源于地球的几何形状。

通过研究球面几何和其他变形几何，我们可以更深入地理解空间和距离的概念，重新审视欧几里得几何的基本公设。

这不仅开阔了我们的视野，也为几何学的发展提供了新的方向和动力。

好，今天就先这样啦～

科学羊🐏  2024/06/18

祝幸福~

参考文献：

[1]. 《数学的雨伞下》｜给孩子推荐的书📖

[2].  部分图片来自《数学的雨伞下》

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